I rendimenti di scala sono l’oggetto di questo post. Faremo un esempio banale della produzione di un panificio, successivamente parleremo un pò’ più formalmente dei rendimenti di scala, e infine formalizzeremo l’esempio (niente di trascendentale).
È doverosa una breve premessa.
Come abbiamo visto nel post relativo alle imprese e alla produzione, la funzione di produzione delle imprese nel lungo termine non ha alcun input fisso.
Tutti gli input sono variabili, e la funzione di produzione è la seguente:
q = f(K,L)
I rendimenti di scala si riferiscono alla variazione di output che segue alla variazione proporzionale di entrambi gli input.
Un esempio
Mi spiegherò meglio con un esempio.
Ipotizziamo di essere proprietari di un panificio, in cui gli input sono il lavoro di un panettiere, che ha un banco da lavoro. Così facendo, l’output giornaliero è di 4 panini.
Cosa succede se, ad esempio, raddoppiamo gli input?
In altre parole, se il panificio assumesse un altro panettiere e acquistasse un altro banco da lavoro, quanti panini produrrebbe al giorno?
Possono verificarsi tre situazioni:
- L’output (ossia i panini prodotti al giorno)è esattamente raddoppiato, e quindi il panificio produrrebbe esattamente 8 panini al giorno;
- L’output è più che raddoppiato, e quindi il panificio produrrebbe 9 o più panini al giorno;
- L’output è meno che raddoppiato, e quindi il panificio produrrebbe 7 o meno panini al giorno.
Se si verifica la prima situazione, parleremo di rendimenti di scala costanti.
Se si verifica la situazione del punto 2, parleremo di rendimenti di scala crescenti.
Se si verifica la situazione del punto 3, parleremo di rendimenti di scala decrescenti.
Come vediamo nell’immagine sopra, a sinistra abbiamo gli input, che stavolta sono il doppio: 2 panettieri e due banchi da lavoro.
A destra abbiamo l’output.
Se avessimo 8 panini, avremmo rendimenti di scala costanti. Il panificio ha raddoppiato gli input e ha raddoppiato anche l’output.
Se invece avessimo 9 panini (o più), avremmo rendimenti di scala crescenti. Il panificio ha raddoppiato gli input, e ha più che raddoppiato l’output (9 è maggiore di 8, che è il doppio dell’output precedente).
Con 7 panini (o meno), avremmo rendimenti di scala decrescenti. Il panificio ha raddoppiato gli input, e ha meno che raddoppiato l’output (7 è minore di 8).
I rendimenti di scala
Se volessimo esprimere il concetto visto nell’esempio in maniera più formale, dobbiamo partire dalla già citata funzione di produzione di lungo periodo:
q = f(K,L)
Nell’esempio precedente, per semplicità, abbiamo raddoppiato gli input (da 1 panettiere e 1 banco da lavoro a 2 panettieri e 2 banchi da lavoro), ma il ragionamento sarebbe stato uguale se avessimo triplicato gli input, o quadruplicato gli input, e così via.
Se raddoppiamo gli input, come nell’esempio precedente, avremo:
q= f(2K, 2L)
Questo non significa altro che il doppio del capitale e il doppio del lavoro come input.
Tuttavia, in astratto, possiamo far variare gli input di un fattore, che indicheremo con ⍺.
Quindi, una variazione proporzionale di entrambi gli input si può esprimere con:
q = f(⍺K, ⍺L)
Quando modifichiamo la quantità degli input di ⍺, cosa accade all’output (q)?
Possiamo avere le tre situazioni già citate:
- f(⍺K, ⍺L) = ⍺ ‧ f(K,L)
In poche parole, a sinistra dell’equazione abbiamo la quantità prodotta variando entrambi gli input di ⍺. A destra abbiamo la quantità prodotta senza variare gli input, moltiplicata per ⍺.
Se la quantità prodotta variando gli input (parte a sinistra) è uguale alla quantità prodotta precedentemente, moltiplicata per ⍺, allora abbiamo rendimenti di scala costanti. - f(⍺K, ⍺L) > ⍺ ‧ f(K,L)
Se la quantità prodotta variando gli input (parte a sinistra) è maggiore della quantità prodotta precedentemente, moltiplicata per ⍺, allora abbiamo rendimenti di scala crescenti. - f(⍺K, ⍺L) < ⍺ ‧ f(K,L)
Se la quantità prodotta variando gli input (parte a sinistra) è maggiore della quantità prodotta precedentemente, moltiplicata per ⍺, allora abbiamo rendimenti di scala decrescenti.
Formalizziamo l’esempio precedente
Riprendiamo l’esempio fatto precedentemente, ovvero quello di un panificio che impiega un panettiere e usa un banco da lavoro.
Sappiamo che quotidianamente produce 4 panini:
f(K,L) = 4
sappiamo che K=1 (un banco da lavoro)e L=1 (un panettiere).
Adesso, vogliamo variare entrambi gli input di un fattore ⍺.
Per semplicità, poniamo ⍺=2, che significa che vogliamo raddoppiare entrambi gli input.
f(⍺K, ⍺L)=?
⍺K = 2 in quanto prima K era 1, moltiplicato per 2 fa 2.
⍺L = 2 in quanto prima L era 1, che moltiplicato per 2 da 2.
Come già detto, possiamo avere tre situazioni:
Rendimenti di scala costanti
f(⍺K, ⍺L) = ⍺ ‧ f(K,L)
Nel nostro caso, dal momento che ⍺ = 2 avremo:
f(2K, 2L) = 2 ‧ 4
f(2K, 2L) = 8
Ovvero, raddoppiando gli input, avremo esattamente il doppio dell’output precedente.
Prima producevamo 4 panini, adesso ne produciamo 8.
Per osservare come si presenta una funzione di produzione con rendimenti di scala costanti, osserviamo il grafico seguente (clicca sul pulsante per vedere il grafico):
Questa funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti.
Come vediamo nel grafico, la derivata prima è positiva (y’>0), e la derivata seconda è uguale a zero.
La retta è inclinata a 45°.
La x è il fattore di produzione. impiegato. La y è la quantità prodotta.
Rendimenti di scala crescenti
f(⍺K, ⍺L) > ⍺ ‧ f(K,L)
Nel nostro caso, dal momento che ⍺ = 2 avremo:
f(2K, 2L) > 2 ‧ 4
f(2K, 2L) > 8
Ovvero, raddoppiando gli input, avremo più del doppio dell’output precedente.
L’output precedente era 4.
Il doppio è 8.
f(2K, 2L) > 8
Per osservare come si presenta una funzione di produzione con rendimenti crescenti, osserviamo il grafico seguente (clicca sul pulsante per vedere il grafico):
Questa funzione di produzione ha rendimenti di scala crescenti.
Come vediamo nel grafico, la derivata prima è positiva (y’>0), e la derivata seconda è positiva anch’essa (y”>0).
La x è il fattore di produzione. impiegato. La y è la quantità prodotta.
Rendimenti di scala decrescenti
f(⍺K, ⍺L) < ⍺ ‧ f(K,L)
Nel nostro caso, dal momento che ⍺ = 2 avremo:
f(2K, 2L) < 2 ‧ 4
f(2K, 2L) < 8
Ovvero, raddoppiando gli input, avremo meno del doppio dell’output precedente.
L’output precedente era 4.
Il doppio è 8.
f(2K, 2L) < 8
Per osservare come si presenta una funzione di produzione con rendimenti decrescenti, osserviamo il grafico seguente (clicca sul pulsante per vedere il grafico):
Questa funzione di produzione ha rendimenti di scala decrescenti.
Come vediamo nel grafico, la derivata prima è positiva (y’>0), e la derivata seconda è invece negativa (y”<0).
La x è il fattore di produzione. impiegato. La y è la quantità prodotta.
Video sui rendimenti di scala
Abbiamo parlato dei rendimenti di scala in un video dedicato all’argomento sul nostro canale YouTube, che trovate di seguito:
Grazie mille per l’attenzione.
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