Questo post raccoglie alcuni esercizi svolti sulla determinazione dell’ottimo del consumatore con il metodo della tangenza.
Come abbiamo visto nel post dedicato alle scelte del consumatore, determinare l’ottimo del consumatore significa semplicemente vedere quale quantità di due beni un soggetto vuole consumare, date le sue preferenze, e i suoi vincoli di reddito.
Richiameremo velocemente i concetti principali per la determinazione dell’ottimo del consumatore (una discussione più approfondita può essere trovata nel post dedicato), per poi vedere insieme alcuni esercizi svolti passo per passo, e commentati.
Le scelte del consumatore soggetto a vincoli
Come abbiamo visto nel post dedicato alle scelte del consumatore, la scelta ottima del consumatore ricadrà nel punto in cui la curva di indifferenza è tangente il vincolo di bilancio.
Osserviamo per un attimo il seguente grafico, in cui ci sono tre curve di indifferenza, ed un vincolo di bilancio (Y)disegnato in blu scuro.
Quale tra queste curve sceglierà il consumatore?
Il consumatore opterà per la curva beta (quella verde), in quanto è quella (tra quelle compatibili con il suo vincolo di bilancio)che gli da la massima utilità.
Dunque la curva di indifferenza scelta dal consumatore è sempre quella tangente il vincolo di bilancio. In particolare, il punto di tangenza è il punto C.
Notiamo anche che per il consumatore è indifferente in quale punto della curva di indifferenza verde porsi (l’utilità è uguale lungo la curva di indifferenza). Tuttavia, c è l’unico punto compatibile con il vincolo di bilancio.
Qualsiasi altro punto sulla curva di indifferenza verde non è fattibile per il consumatore. È oltre le sue possibilità. “Non ha i soldi” per permettersi gli altri panieri sulla stessa curva di indifferenza.
Determinare l’ottimo del consumatore con strumenti matematici
Abbiamo visto nel post sulle scelte del consumatore che la pendenza della curva di indifferenza è il Marginal Rate of Substitution (MRS), mentre la pendenza del vincolo di bilancio è il Marginal Rate of Transformation (MRT).
Noi vogliamo trovare il punto in cui le curve sono tangenti, ovvero in cui le due pendenze sono uguali, che significa:
MRT = MRS
Per trovare il punto di ottimo del consumatore, esistono tre modi:
- Il metodo della tangenza
- Il metodo di sostituzione
- Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Tutti e tre i metodi consisgono sostanzialmente nel trovare il punto in cui la curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio.
Gli esercizi che vedremo tra poco si riferiscono al metodo della tangenza.
Il metodo della tangenza
Calcolare l’ottimo del consumatore con il metodo della tangenza significa mettere in un sistema l’equazione MRT = MRS, e l’equazione del vincolo di bilancio.
Lo vedremo subito con degli esempi.
Esercizi svolti sull’ottimo del consumatore (metodo della tangenza).
Esercizio svolto 1
Determinare il paniere ottimo di un consumatore le cui preferenze sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
Il prezzo unitario del bene 1 è di 2€ (p1 = 2€), e il prezzo unitario del bene 2 è 5 € (p2 = 5€).
Il consumatore ha un reddito mensile di 300 € (Y = 300).
Vogliamo determinare qual è il paniere ottimale consumato ogni mese, visti i dati appena riportati.
Per svolgere l’esercizio seguiremo questi step:
- Rappresentare l’equazione del vincolo di bilancio
- Calcolare il saggio marginale di trasformazione (MRT)
- Calcolare il saggio marginale di sostituzione (MRS)
- Impostare il sistema e risolverlo, per trovare il paniere ottimo del consumatore
Sappiamo che il soggetto può scegliere tra il bene 1, e il bene 2. La quantità consumata del bene 1 è x1, e la quantità consumata del bene 2 è x2.
1. Calcoliamo il vincolo di bilancio
Anzitutto, ricordiamo l’equazione generica del vincolo di bilancio:
Nel nostro caso, andiamo a sostituire i dati che conosciamo (cioé il reddito di 300€, e i prezzi dei due beni, che sono rispettivamente 2€ e 5 €).
La nostra equazione del vincolo di bilancio, quindi, è la seguente:
2. Calcoliamo il saggio marginale di trasformazione (Marginal Rate of Transformation – MRT)
Come sappiamo dal post sulle scelte del consumatore, il saggio marginale di trasformazione è la pendenza del vincolo di bilancio, ed è definito come segue:
Noi conosciamo i prezzi dei due beni, quindi il nostro saggio marginale di trasformazione (MRT)sarà il seguente:
Al numeratore abbiamo il prezzo del bene 1, e al denominatore il prezzo del bene 2.
Per conoscere la scelta ottima del consumatore, dobbiamo eguagliare MRT a MRS.
Dunque dobbiamo calcolare il saggio marginale di sostituzione (MRS).
3. Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione (Marginal Rate of Substitution – MRS)
Il saggio marginale di sostituzione (MRS)è definito dalla seguente formula:
Al numeratore abbiamo la derivata parziale della funzione utilità per x1, quindi “tratteremo” x2 come se fosse una costante.
Al denominatore, invece, abbiamo la derivata parziale della funzione di utilità per x2, dunque “tratteremo” x1 come una costante in questo caso.
La funzione di utilità è quella che abbiamo visto all’inizio di questo esercizio, nel testo del problema. È questa la funzione che dobbiamo derivare.
Svolgiamo i calcoli, ed otteniamo:
4. Impostiamo il sistema per trovare il punto di tangenza
Adesso abbiamo tutto quello che ci serve per impostare il sistema e risolverlo, determinando il paniere ottimo per il consumatore.
In generale, il sistema da risolvere con il metodo della tangenza, è il seguente:
Abbiamo tutti i dati, basta sostituirli al sistema, e poi risolverlo.
I vari passaggi sono indicati di seguito:
Quindi sappiamo che il paniere ottimo consumato da questo soggetto, date le sue preferenze e il suo reddito, è di 100 unità del bene 1, e 20 unità del bene 2.
x1 = 100
x2 = 20
Per essere sicuri di non aver commesso errori, si possono prendere questi risultati (100, 20), e sostituirli alle quantità x1 e x2.
Svolgendo i calcoli, troveremo un numero al primo membro (Y, il reddito del consumatore)e un numero al secondo membro.
Se i calcoli sono corretti, questi due numeri devono essere uguali, come vediamo di seguito.
