Frequenze relative e assolute

In questo post, ci concentriamo sulle frequenze relative.

C’è un post diverso dedicato alle distribuzioni unitarie semplici e alle distribuzione di frequenza, che può essere utile leggere se non si conosce l’argomento.

In fondo alla pagina, troverete anche un video che illustra l’argomento, preso dal canale YouTube.

---

È opportuno premettere che qui diremo semplicemente cosa sono le frequenze relative. Non entreremo nel merito di quando è opportuno calcolarle.

Basti sapere che in diversi casi, quando si studia statistica, è utile o necessario conoscere le frequenze relative.

Le frequenze assolute (richiamo)

Abbiamo visto nel post dedicato alla distribuzione di frequenze, cosa siano le frequenze assolute.

Dunque facciamo soltanto un rapido richiamo qui, perché è necessario per comprendere le frequenze relative.

La frequenza assoluta risponde alla domanda:

quante volte (quanto di frequente)abbiamo osservato ogni modalità assunta da un carattere?

Ipotizziamo di osservare il carattere “colore degli occhi” in una classe di dieci alunni.
La seguente distribuzione di frequenze (assolute)riassume le nostre rilevazioni:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta
Blu	2
Marroni	4
Verdi	4
TOTALE	10

La tabella ci dice che nella nostra classe ci sono due alunni con gli occhi blu, quattro con gli occhi marroni, e quattro con gli occhi verdi.

Queste sono le frequenze assolute.

Proviamo a calcolare le frequenze relative sulla stessa distribuzione. Prima di farlo, però, prendiamoci una “pausa” e definiamo cosa sono le frequenze relative.

Torneremo a questo esempio sul colore degli occhi subito dopo.

Cosa sono le frequenze relative

Una frequenza relativa è definita come il rapporto tra la frequenza assoluta e il totale delle osservazioni.

Vediamolo prima in forma generica e poi con un esempio che chiarirà tutto.
In generale, una distribuzione di frequenze è rappresentata come segue:

Nella tabella sopra, x è il carattere osservato.
x₁, x₂, …, x_k sono le varie modalità del carattere.
n₁, n₂, …, n_k sono le frequenze assolute.

n è il numero totale delle osservazioni (ed è, ovviamente, la somma n₁+n₂+…+n_k)

Partendo dalle frequenze assolute, calcoliamo le frequenze relative.

In particolare, indicheremo le frequenze relative con f_i e le definiamo come segue:

Questo è semplicemente il modo formale di rappresentare le frequenze relative. Ovvero come il rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità (n_i), e il totale delle osservazioni effettuate (n).

Ad esempio, se una modalità viene osservata 10 volte, in un collettivo di 100 persone, la frequenza relativa sarà semplicemente la divisione 10/100, ovvero 0,1.

Se qualcosa dovesse sembrare complicato al momento, è normale. Quando si rappresentano le cose in modo formale la confusione è sempre presente, ma quando faremo un semplice esempio, tutto tornerà semplice e comprensibile!

La somma delle frequenze relative è uno!

Una cosa da notare è che la somma di tutte le frequenze relative è uno. Formalmente, lo rappresentiamo così:

Tornando alla tabella precedente (quella delle frequenze assolute), possiamo affiancare un’ulteriore colonna, nella quale riportiamo le varie frequenze relative, come nel modo seguente:

Notiamo nell’ultima riga della tabella che la somma totale delle frequenze assolute è n (ovvero il numero di osservazioni)mentre la somma totale delle frequenze relative è 1 (come abbiamo appena detto).

Adesso andiamo a vedere un semplice esempio che dovrebbe rendere tutto estremamente più chiaro.

Esempio – Calcolare le frequenze relative partendo dalle frequenze assolute

Come promesso all’inizio del post, facciamo un esempio semplicissimo di calcolo delle frequenze relative, sulla tabella che riassume i colori degli occhi di una classe di 10 alunni.

Riportiamo la tabella qui:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta
Blu	2
Marroni	4
Verdi	4
TOTALE	10

Nella colonna di destra della tabella, abbiamo le frequenze assolute, e sappiamo che il numero di osservazioni è 10, cioé il numero di alunni nella classe (n=10).

Nella colonna di sinistra abbiamo le diverse modalità assunte dal carattere “colore degli occhi”, ovvero ‘Blu’, ‘Marroni’, e ‘Verdi’.

Adesso vi faccio una domanda, e vorrei che vi fermaste a ragionarci un attimo prima di continuare a leggere. La domanda è la seguente:

Qual è la frequenza relativa della modalità ‘Blu’?

Prendetevi un paio di minuti per pensarci e poi continuate a leggere e verificate la risposta.

---

Come abbiamo ormai ripetuto più volte, per calcolare la frequenza relativa dobbiamo dividere la frequenza assoluta della modalità osservata, per il numero di osservazioni totali.

Stiamo osservando la modalità “Blu” e la sua frequenza assoluta è 2.

Il numero di osservazioni totali (n)è 10.

Dobbiamo quindi semplicemente effettuare la divisione 2:10, e otterremo 0,2!

La frequenza relativa della modalità ‘Blu’ è 0,2

Complimenti se avete risposto correttamente!

Se invece avete sbagliato, non preoccupatevi, c’è il tempo per recuperare. Adesso vi chiedo di disegnare la seguente tabella

Colore degli occhi	Frequenza assoluta	Frequenza relativa
Blu	2	0,2
Marroni	4
Verdi	4
TOTALE	10

La prima frequenza relativa, è 0,2.

Vi chiedo di fermarvi e calcolare le altre due frequenze relative prima di continuare a leggere. Potete poi scrivere le frequenze relative nell’apposita colonna, e confrontarle con le risposte.

---

Ecco, se avete effettuato i calcoli correttamente, la vostra tabella dovrebbe essere come questa:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta	Frequenza relativa
Blu	2	0,2
Marroni	4	0,4
Verdi	4	0,4
TOTALE	10

Le frequenze relativa delle modalità “Marroni” e “Verdi” sono uguali perché anche le frequenze assolute sono le stesse.

Ho lasciato la riga del totale vuota, proprio per farvi notare che, se avete effettuato i calcoli correttamente, la somma delle frequenze relative deve necessariamente essere uno!

Ecco quindi di seguito la tabella completa:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta	Frequenza relativa
Blu	2	0,2
Marroni	4	0,4
Verdi	4	0,4
TOTALE	10	1

Frequenze relative e confronto di due collettivi

Una cosa da tenere in considerazione è che le frequenze relative non presentano un inconveniente che invece è proprio delle frequenze assolute.

All’aumentare delle dimensioni del collettivo osservato, aumenteranno inevitabilmente anche le frequenze assolute.

Confrontando quindi due collettivi, di cui uno molto più grande dell’altro, indubbiamente le frequenze assolute del collettivo più grande saranno di gran lunga maggiori di quelle del collettivo di minor dimensione.

Questo può rendere difficile il confronto di due collettivi di dimensioni molto diverse, e per ovviare a questo problema si possono usare le frequenze relative.

Prendiamo come esempio la nostra classe di 10 alunni, e ipotizziamo di volerlo confrontare con un’altro collettivo (un istituto di 1000 alunni).

Per semplicità ipotizziamo che anche nell’istituto di 1000 alunni, questi abbiano soltanto gli occhi blu, verdi e marroni.

Otteniamo le seguenti distribuzioni di frequenze assolute:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta
Blu	2
Marroni	4
Verdi	4
TOTALE	10

Colore degli occhi	Frequenza assoluta
Blu	250
Marroni	400
Verdi	350
TOTALE	1000

Come vediamo, mettere a confronto questi due collettivi è difficile, perché le frequenze assolute non si possono comparare.

Ad esempio, se volessimo sapere in quale collettivo il tasso di ragazzi con gli occhi blu è maggiore, la comparazione non risulta agevole.

Proviamo ad aggiungere le frequenze relative per entrambi i collettivi, e vedremo che la comparazione risulterà più semplice:

Colore degli occhi	Frequenza assoluta	Freq. relativa
Blu	2	0,2
Marroni	4	0,4
Verdi	4	0,4
TOTALE	10	1

Colore degli occhi	Frequenza assoluta	Freq. relativa
Blu	250	0,25
Marroni	400	0,4
Verdi	350	0,35
TOTALE	1000	1

Notiamo come in questo caso, osservando le frequenze relative, la comparazione dei due collettivi risulti più semplice.

Ricapitolando

Abbiamo visto brevemente cosa sono le frequenze assolute, e abbiamo visto che partendo da queste, si possono calcolare le frequenze relative.

Una frequenza relativa è definita dal rapporto tra la frequenza assoluta della modalità osservata e il numero di osservazioni.

Questa definizione è stata prima enunciata formalmente, e poi messa in pratica con un breve esempio di calcolo delle frequenze relative.

Se doveste avere qualsiasi dubbio, o qualcosa non dovesse essere chiaro, non esitate a contattarmi!

Video sulle frequenze relative

Domande e risposte