Oligopolio di Cournot – Duopolio di Cournot

L’oligopolio di Cournot non è altro che un modello di oligopolio. Studia il comportamento delle imprese in condizioni strategiche.

In altre parole, ci spiega cosa accade quando ci sono due imprese (duopolio)che competono in uno stesso mercato, scegliendo le quantità da produrre.

In questo post introdurremo l’oligopolio di Cournot, verificheremo i suoi presupposti, osserveremo come si comportano le imprese, e vedremo in che modo si arriva ad un equilibrio (osservando in particolare il duopolio di Cournot, ovvero il caso in cui ci siano due imprese nel mercato).

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Abbiamo già introdotto l’oligopolio in un altro post.

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All’inizio del post, quando parleremo dei tratti generali dell’oligopolio alla Cournot, le cose potrebbero sembrare leggermente più complicate.
Di seguito faremo un esempio pratico di duopolio di Cournot, che aiuterà a rendere più chiaro quanto detto.

Cos’è l’oligopolio di Cournot?

Il modello di oligopolio di Cournot è un modello di oligopolio uniperiodale non cooperativo.

Cournot si pone la seguente domanda:

nel caso di un mercato oligopolistico, in che modo le imprese scelgono la quantità da produrre per massimizzare i propri profitti?

Il fatto che le imprese competano sulla quantità (e non sul prezzo, come nel modello di Bertrand)ha delle conseguenze sull’equilibrio del mercato.

Dunque ciascuna impresa vuole massimizzare i propri profitti, e per farlo deve prendere in considerazione anche la quantità prodotta dalle altre imprese nel mercato.

Bisogna notare che la quantità prodotta da un’impresa influisce direttamente sul profitto delle altre imprese, poiché il prezzo di mercato dipende dal prodotto totale.

L’ipotesi di base di Cournot è che ciascuna impresa agisce in modo indipendente tentando di massimizzare i profitti scegliendo la quantità prodotta.

In questo modello le imprese scelgono in modo indipendente la quantità da produrre per massimizzare i propri profitti, senza sapere quale quantità produrranno le imprese rivali.

Ogni impresa prende le decisioni sulla base delle proprie aspettative sulla quantità prodotta dalle altre imprese.

Una delle critiche più frequenti al modello di Cournot è la mancanza di una base teorica solida sul modo in cui le imprese formino le proprie aspettative sulla quantità prodotta dalle imprese concorrenti.

Il modello di Cournot è un modello uniperiodale.

Le imprese scelgono una sola volta contemporaneamente la quantità da produrre per massimizzare il profitto.

Vediamo adesso quali sono gli assunti del modello di Cournot.

Presupposti dell’oligopolio di Cournot

Il modello di Cournot ha degli assunti che illustriamo brevemente

1. Nessuna entrata

Si presuppone che ci siano barriere all’entrata, dunque nessuna nuova impresa può entrare nel mercato.

2. Costi identici

Le imprese nel mercato hanno la stessa tecnologia, ovvero sostengono gli stessi costi.

In altre parole, nessuna impresa ha un vantaggio di costo.

3. Prodotti indifferenziati

Le imprese vendono prodotti omogenei, senza differenze apprezzabili.

4. Le imprese fissano la quantità simultaneamente (modello uniperiodale)

Come abbiamo già detto, le imprese scelgono contemporaneamente quale quantità produrre per massimizzare i propri profitti, sulla base della strategia congetturata delle imprese rivali.

Per questo il modello di Cournot è uniperiodale.

Questo comportamento strategico è anche detto di tipo satellitare (follower-follower).

Non c’è un’impresa leader che opta per una strategia, ed altre imprese follower che si adeguano a questa scelta. Le imprese scelgono allo stesso momento quale quantità produrre, sulla base di quanto si aspettano che l’altra impresa produca.

Il comportamento delle imprese nel modello di Cournot

Dunque, ricapitolando, sappiamo che ogni impresa vuole massimizzare il profitto.

Per farlo, sceglie quale quantità produrre sulla base della quantità che crede verrà prodotta dalle altre imprese.

Ognuna delle imprese esprime una curva di reazione (o risposta ottima)che indica la quantità ottima da produrre, in base alla quantità prodotta dalle altre imprese.

Per chiarire meglio questo concetto, andiamo ad osservare il duopolio di Cournot teoricamente e con un esempio numerico, per poi estendere successivamente il ragionamento al caso in cui le imprese siano più di due.

Il duopolio di Cournot

Il duopolio è una forma di oligopolio in cui ci sono soltanto due imprese.

Nel duopolio alla Cournot le imprese competono sulla quantità.

Come abbiamo detto più volte, ogni impresa sceglie la quantità da produrre, sulla base della quantità che crede venga prodotta dall’impresa rivale.

La quantità prodotta nel duopolio di Cournot

Ipotizziamo che le imprese del duopolio di Cournot si chiamino impresa A e impresa B.

Q (maiuscolo)indica la quantità totale prodotta nell’industria.

q_A indica la quantità prodotta dall’impresa A, mentre q_B indica la quantità prodotta dall’impresa B.

Essendo solo due le imprese nel mercato, la quantità totale sarà data dalla quantità che produce l’impresa A, e da quella prodotta dall’impresa B, come vediamo nella seguente uguaglianza:

Q = q_A + q_B

La risposta ottima delle imprese

Osserviamo l’impresa A per un attimo (lo stesso ragionamento vale anche per l’impresa B, dal momento che vendono prodotti omogenei e sostengono gli stessi costi).

La domanda dell’impresa A è data dalla domanda di mercato (Q) meno la quantità prodotta dall’altra impresa nel mercato (l’impresa B, che produce q_B).

q_A = Q(p) – q_B

Questa è la domanda residuale dell’impresa A.

La p tra parentesi indica che la quantità varia in funzione del prezzo.

L’impresa A ha un monopolio su quei consumatori la cui domanda non è soddisfatta dall’impresa B. Ovviamente, se l’impresa B non vende a certi consumatori, questi sono costretti ad acquistare dall’impresa A (essendoci solo due imprese nel mercato, e nessuna entrata di nuove imprese).

In rosso, vediamo la domanda di mercato. La curva in azzurro è la domanda residuale dell’impresa A. Quella in verde è il ricavo marginale dell’impresa A (che ha pendenza doppia rispetto alla doma domanda residuale di A). La curva in arancione è il costo marginale di A.

Il punto che massimizza il profitto dell’impresa A è quello in cui il ricavo marginale (la curva in verde)incontra il costo marginale (la curva in arancione).

Possiamo riassumere il rapporto tra la quantità che massimizza il profitto dell’impresa A rispetto alla quantità prodotta dalla rivale con la seguente equazione generica:

q_A = R_A(q_B)

Questa relazione è detta funzione di risposta ottima, o funzione di reazione di A rispetto a B.

L’elemento R_A indica semplicemente che la quantità prodotta da A è la risposta ottima rispetto a quanto produce B.

Possiamo leggere questa relazione come: “la quantità che produce A come risposta ottima alla quantità prodotta da B“.

Esempio di duopolio di Cournot

Vediamo meglio questo concetto con un esempio numerico, che risulta più idoneo a spiegare il comportamento delle due imprese.

Ipotizziamo di avere la seguente domanda di mercato:

Q = 20-p

Questa è una funzione di domanda diretta. Tuttavia quando lavoriamo sull’oligopolio in generale è sempre opportuno esprimere la domanda in forma inversa (per il semplice fatto che rende i calcoli più semplici).

La funzione di domanda inversa è la seguente:

p = 20 – Q

Sappiamo che ci sono due imprese, l’impresa A e l’impresa B, che producono l’intera quantità:

Q = q_A + q_B

Le imprese sostengono gli stessi costi, e il costo totale sostenuto dalle imprese è il seguente (TC sta per Total Cost):

TC = 20 + 4q_i

i = A, B

La i a pedice indica che il costo può essere relativo all’impresa A (i=A)e allo stesso modo può essere relativo all’impresa B (i=B), essendo i costi identici.

Calcolare il profitto nel duopolio di Cournot

Osserviamo l’impresa A, e vediamo che il profitto è dato dai ricavi totali (TR – Total Revenue) meno i costi totali.

πA = TR – TC

I ricavi totali (TR)sono dati, per definizione, dal prezzo per la quantità venduta. Ma sappiamo che il prezzo può essere espresso come segue (lo abbiamo visto esprimendo la funzione di domanda in forma inversa): p = 20 – Q

Quindi definiamo il ricavo totale così:

TR = p x q_A = (20-Q) x q_A

I costi totali li abbiamo già descritti sopra, quindi il profitto dell’impresa A sarà dato da:

π_A = TR – TC = (20-Q)q_A – (20 + 4q_A)

Ma sappiamo anche che Q=q_a + q_b

Quindi possiamo esprimere il profitto come:

π_A = (20- q_A – q_B)q_A – (20 + 4q_A)

Svolgendo i calcoli (non lo faccio qui per ragioni di sintesi)otteniamo:

π_A = 16q_A – q_A² – q_Aq_B – 4q_A

Massimizzare il profitto nel duopolio di Cournot

Perchè il profitto sia massimizzato, dobbiamo porre due condizioni:

1. La derivata del profitto rispetto alla quantità deve essere zero (FOC – First Order Condition)
2. La derivata seconda del profitto rispetto alla quantità deve essere minore di zero (SOC – Second Order Condition)

Per ragioni di sintesi, vi scrivo direttamente i risultati.

La derivata prima del profitto rispetto alla quantità è:

∂π_A/∂q_A = 16 – 2 q_A – q_B

La derivata seconda del profitto rispetto alla quantità è:

∂π_A/(∂q_A∂q_A) = -2

Dunque la condizione di secondo ordine (SOC)è sempre verificata, perché qualunque sia la quantità q_a la derivata seconda è sempre negativa (in quanto è una costante: -2)

Adesso concentriamoci su come l’impresa A massimizza il proprio profitto. Abbiamo già calcolato la derivata prima, e verificato la condizione di second’ordine (SOC). Adesso ci basta porre la derivata prima uguale a zero:

∂π_A/∂q_A = 16 – 2 q_A – q_B = 0

Da qui ricaviamo che la quantità prodotta da A che massimizza il suo profitto è:

q_A = 8 – (1/2) (q_B)

Questa è la curva di reazione (o di risposta ottima)dell’impresa A.

Notiamo che se l’impresa B produce zero, l’impresa A produrrà 8 per massimizzare il suo profitto.

Dal momento che le due imprese sono identiche, possiamo calcolare analogamente la risposta ottima dell’impresa B, e otterremo:

q_B = 8 – (1/2) (q_A)

Notiamo che se l’impresa A non produce niente (q_A=0)l’impresa B produrrà 8 per massimizzare il suo profitto.

Trovare l’equilibrio di Cournot

A questo punto, per trovare l’equilibrio non ci resta che mettere a sistema le due funzioni di risposta ottima.

Otterremo:

q_A = q_B = 16/3

Questo è l’equilibrio di Cournot

Ciascuna delle due imprese produrrà la quantità di 16/3.

Graficamente questo sarà l’unico punto in cui le due imprese si trovano sulla propria funzione di risposta ottima.

Il punto, infatti, è l’intersezione tra le funzioni di risposta ottima delle due imprese.

Vediamolo graficamente.

L’oligopolio di Cournot graficamente

Vediamo come rappresentare graficamente l’equilibrio di Cournot nel duopolio appena visto:

L’equilibrio di Cournot è un caso particolare di equilibrio di Nash (in cui le imprese hanno strategie relative alle quantità prodotte); per questo motivo viene spesso definito equilibrio di Cournot-Nash.

Gli aggiustamenti verso l’equilibrio di Cournot

Perché quello di Cournot è l’unico equilibrio possibile?

Osservando il grafico, vediamo che il punto di equilibrio di Cournot-Nash è quello in cui le due funzioni di reazione delle imprese si incontrano.

Perché quello è l’unico equilibrio possibile?

Ipotizziamo per un attimo che l’impresa A produca una quantità diversa, lungo la sua curva di reazione (che massimizza i suoi profitti).

Ipotizziamo che l’impresa A produca la quantità indicata dal pallino A lungo la sua curva di reazione:

Se l’impresa A produce la quantità indicata dal pallino A, allora la risposta ottima dell’impresa B, sarà di produrre la quantità B, indicata dal pallino arancione lungo la sua curva di reazione.

Di conseguenza, se l’impresa B produce la quantità B, la risposta ottima di A cambierà, e sarà quella indicata dal pallino C, come vediamo nel grafico seguente:

Ma se l’impresa A produce la quantità indicata dal pallino C, allora la risposta ottima dell’impresa B sarà diversa (in particolare sarà corrispondente in verticale al punto C), e così via.

Procedendo per aggiustamenti progressivi, si arriverà all’equilibrio di Cournot (Cournot-Nash), in cui nessuna delle due imprese ha interesse a modificare la quantità ottima prodotta.

È l’unico punto in cui entrambe le imprese si trovano lungo la propria funzione di risposta ottima, contemporaneamente.

In equilibrio vengono confermate le aspettative di ogni impresa.

Oligopolio di Cournot con più di due imprese

Fino ad ora abbiamo visto il caso del duopolio di Cournot, in cui ci sono soltanto due imprese nel mercato, e abbiamo visto come queste producano la quantità che sta lungo la funzione di risposta ottima di entrambe (cioè nel punto di intersezione tra le due risposte ottime).

Cosa succede quando il numero delle imprese nel mercato non è di due imprese (duopolio), ma è maggiore di due?

Se le imprese sono più di due, e sono identiche, si può usare lo stesso tipo di ragionamento per arrivare all’equilibrio di Cournot.

Ipotizziamo che in un mercato ci siano n imprese (n>2).

Ogni impresa avrà una sua risposta ottima. Ad esempio, ipotizziamo di osservare la risposta ottima dell’impresa 1. Possiamo rappresentarla così:

q₁ = R₁(q₂, q₃, …, q_n)

Allo stesso modo, l’impresa 2 avrà una sua funzione di risposta ottima:

q₂ = R₂(q₁, q₃, …, q_n)

E così via per tutte le altre imprese.

L’equilibrio di Cournot si trova quando le risposte ottime di tutte le imprese coincidono. La soluzione si troverà con un sistema lineare composto da n righe (il numero delle imprese).

Il ragionamento è identico, sebbene la rappresentazione grafica dell’equilibrio di Cournot-Nash non si possa realizzare su un grafico cartesiano con soli due assi.

Video sul duopolio di Cournot

Domande e risposte sull’oligopolio di Cournot