La media aritmetica è un indice di sintesi dato dalla somma di tutti i valori osservati, divisa per il numero di valori osservati.
Tutti sappiamo cosa sia la media, e la usiamo nella vita di tutti i giorni.
“Ambulanze veterinarie azzurre: a Mantova in media due interventi al giorno.“
“Mutui: a Bergamo chiesti in media 139mila euro.”
Questi sono soltanto un paio di esempi di titoli di giornale che includono la media (aritmetica).
In questo post, proveremo ad analizzare più a fondo la media aritmetica, osserveremo le sue proprietà, e faremo alcuni esempi per rendere il concetto chiaro.
Introduzione
La media aritmetica (che indicheremo in questo post con Ma) è un valore di sintesi della distribuzione di un carattere.
In poche parole, quando si ha una distribuzione, la media aritmetica ci dice in un colpo solo, con un numero solo, dove sta il “centro” della distribuzione.
Quando nel linguaggio comune usiamo la parola media, ci riferiamo proprio alla media aritmetica (anche se in statistica ci sono anche altre medie, come la mediana, o la moda).
Per calcolare la media aritmetica dobbiamo fare due cose:
- Sommare tutti i valori osservati
- Dividere la somma per il numero di osservazioni
Capiamo meglio il concetto con un esempio semplicissimo.
Un semplice esempio
Ci sono due amici, Gigi e Andrea.
Gigi ha in tasca 4 €, e Andrea, invece, ha in tasca 10€.
Quanto hanno, in media, i due amici in tasca?
Molto semplice!
Sommiamo i 4 € di Gigi e i 10 € di Andrea (totale 14€)e li dividiamo per due (perchè gli amici sono due).
14 € diviso due fa 7 €.
In media, Gigi e Andrea hanno in tasca 7 €.
7 € è la media aritmetica dei soldi che hanno in tasca Gigi e Andrea!
Un altro semplice esempio
Capiamo un po’ meglio il concetto con un altro esempio leggermente più complesso.
Pensiamo ad un gruppo di cinque persone, ai quali chiediamo quanto guadagnano all’anno.
Otteniamo le seguenti risposte:
Questi sono i guadagni annui delle cinque persone osservate.
Secondo voi, quale sarà il guadagno annuo medio? Provate a pensarci su un attimo prima di continuare a leggere.
Probabilmente molti di voi avranno pensato ad una cifra verosimile.
La media è 47.000 €
Come si calcola questa cifra? Molto semplice!
Si sommano i valori (i redditi delle cinque persone)e si divide la somma per il numero di osservazioni (appunto, cinque).
Dunque ho diviso 235.000 € (la somma di tutti i redditi)per cinque.
*Osservazione: la media aritmetica può essere calcolata solo per caratteri quantitativi.
Questa è sostanzialmente la media aritmetica. Se però siete interessati ad andare più nel dettaglio, o ad avere definizioni più formali, continuate pure a leggere l’articolo.
Definizione di media aritmetica
La “media aritmetica” (Ma)di un insieme di n valori osservati (x1, x2, x3,…, xn) è pari alla somma dei valori osservati divisa per il loro numero.
È semplicemente quello che abbiamo già detto, ma formalmente si esprime così:
La formula che può sembrare complicata è in realtà molto semplice.
Al numeratore abbiamo la sommatoria di tutti i numeri osservati (sommatoria di xi), e al denominatore abbiamo n (ovvero il numero di osservazioni).
Se il carattere quantitativo X è discreto e conosciamo la distribuzione di frequenze, allora:
oppure, se anziché le frequenze assolute, usiamo le frequenze relative (fj)
![[3]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/media-aritmetica-3.jpg)
dove k è il numero di modalità assunte dal carattere.
Se il carattere è distribuito in classi, la media cambierà leggermente, e il metodo di calcolo è diverso, come vedremo nell’esempio successivo.
Esempio di calcolo della media aritmetica
Facciamo un’ulteriore esempio, stavolta in modo leggermente più formale.
Ipotizziamo di osservare il numero di cellulari posseduti in una famiglia, questo sarà il nostro carattere X.
X=numero di cellulari posseduti in famiglia.
Costruiamo la distribuzione di frequenze semplice e contemporaneamente una distribuzione con le modalità raggruppate in classi.
Indicheremo con MaI la media calcolata osservando la distribuzione di frequenze semplice, ovvero usando la formula [2] che vedete sopra.
Indicheremo con MaII la media calcolata osservando la distribuzione di frequenze per classi, quindi come valore di X useremo il valore centrale della classe.
Nella seconda media 1 è il valore medio della prima classe, 4 è il valore medio della seconda classe e 7 è il valore medio della terza classe.
Dunque:
*Osservazione: un’altra osservazione quasi ovvia ma molto importante è la seguente.
Dove Xmin è la minima modalità assumibile dal carattere, e viceversa Xmax è la massima modalità assumibile dal carattere.
La media ponderata
Cosa succede se ad ogni osservazione vogliamo assegnare un ‘peso’?
Ad esempio, all’università così com’è oggi, ogni materia ha un peso diverso (i crediti formativi).
Nel calcolo della media, una materia da 10 CFU vale di più di una materia da 6 CFU.
Per questo motivo, esiste la media ponderata.
La pMa(media aritmetica ponderata) di un insieme di n valori x1, x2, x3,…,xn di un carattere quantitativo X, ponderata con i pesi p1, p2, p3,…,pn è data da:
*Osservazione: nella pMa non possono essere usati pesi negativi.
*Osservazione: se p1 = p2 = p3 =… = pn
allora pMa = Ma
Dimostriamo questa seconda osservazione:
![[1]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/media-ponderata-2.jpg)
(con ƒ costante)
![[2]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/media-ponderata-3.jpg)
Ma basandoci sulla [1] la [2] può essere scritta così:
![[3]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/media-ponderata-4.jpg)
In sostanza abbiamo semplificato le due ƒ al numeratore e al denominatore.
Proprietà della media aritmetica
La Ma presenta alcune importanti proprietà matematiche che elenchiamo di seguito.
Significa che il numero di osservazioni (n) moltiplicato per la media, è uguale alla somma delle singole osservazioni.
Facciamo un esempio per essere più chiari. Ipotizziamo di osservare la media dei voti nell’esame di statistica, di 6 studenti. I voti sono i seguenti:
| 28 | 30 | 28 | 24 | 18 | 22 |
La somma dei voti è 150. Le osservazioni (n)sono sei. Di conseguenza, la media sarà data da 150 diviso 6.
Ma = 25
Se moltiplichiamo 25 per il numero di osservazioni (n=6), otteniamo la somma dei voti di tutti gli alunni (150).
6 x 25 = 150
![[2]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/proprietc3a0-media-aritmetica-2.jpg)
*con c costante e c ≠ Ma
![[3]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/proprietc3a0-media-aritmetica-3.jpg)
Significa che se a ciascuna osservazione sottraessimo la media, il risultato sarebbe zero.
Significa che la media è necessariamente compresa tra il valore minimo osservato (il più basso), e quello massimo (il più alto).
![[5a]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/proprietc3a0-media-aritmetica-4a.jpg)
Proprietà associativa della media.
![[5b]](http://gazzettinoeconomico.files.wordpress.com/2014/03/proprietc3a0-media-aritmetica-4b.jpg)
Proprietà associativa della media.
[6] sia X un carattere, con X=(x1, x2, x3,…,xn), la media aritmetica è lineare.
y = ax+b ⇒ My = aMx + b
* Nel caso il punto [6] non sia chiaro rivedere l‘argomento della retta in matematica.
Dimostrazione delle proprietà
Andiamo a dimostrare alcune di queste proprietà.
[1] Non va dimostrata. Per definizione
Andando a moltiplicare entrambi i membri per n otteniamo:
[2]
[3]
La [4], la [5] e la [6] non vanno dimostrate.
*Osservazione: la Ma svolgerà effettivamente un ruolo di sintesi soltanto se le diverse modalità assunte dalle unità statistiche saranno abbastanza vicine alla media.
La Ma infatti risente molto dei cosiddetti valori anomali.
Video sulla media aritmetica
Esercizi svolti sulla media aritmetica
Qui di seguito ci sono alcuni video in cui svolgiamo insieme alcuni esercizi sull’argomento.
Esercizi svolti semplici
Esercizi svolti difficoltà media
Domande e risposte
La media aritmetica è un numero che ci riassume qual è il “centro” di una distribuzione.
Più formalmente, è un valore di sintesi dell’osservazione delle modalità assunte da un carattere.
Formalmente la media aritmentica si rappresenta come nell’immagine allegata.
No. La Ma può essere calcolata soltanto per caratteri quantitativi.
Non può essere usata per caratteri qualitativi.
Molto semplicemente, si sommano tutti i valori osservati, e si dividono per il numero di osservazioni.
La media ponderata è uguale alla Ma, con la differenza che ciascuna osservazione ha un “peso”.
Quindi si deve moltiplicare ciascun elemento per il rispettivo peso, e poi dividere tutta la somma per i diversi pesi.
Ci serve semplicemente a rappresentare sinteticamente un collettivo. In particolare, con la media aritmetica vogliamo vedere qual è il “centro” di una certa distribuzione.
La Ma non è l’unico valore di sintesi in grado di rappresentare il centro di una distribuzione, ma ce ne sono anche altri (come la moda o la mediana).
Conclusione
Abbiamo visto cos’è la media aritmetica, abbiamo fatto alcuni semplici esempi per poi darne una definzione più formale, e abbiamo visto le sue proprietà.
Se dovesse interessarti la statistica, puoi trovare tanti altri articoli nella pagina dedicata!